Mercredi prochain sort le volet final de la série Hunger Games, l’occasion de revenir sur cette saga au cinéma. Le premier volet nous présente un monde futuriste où se déroule tous les ans les Hunger Games. Il s’agit d’un « jeu » regroupant une fille et un garçon des 12 districts soumis au Capitol. Dans une arène remplit de dangers, ils devront s’affronter à mort, un seul pouvant ressortir vivant. Katniss se porte volontaire pour sauver sa sœur tirée au sort pour représenter leur district. Le slogan « Puisse le sort vous être favorable » résume les Hunger Games. Mais est-ce système est-il vraiment équitable, d’un point de vu mathématique ?

Le système de la Moisson

Pour être équitable, les « tributs » (les participants aux Hunger Games) sont tirés au sort parmi tous les enfants de même sexe du district qui ont entre 12 et 18 ans lors de la Moisson. Le tirage est effectué à la main, à l’aide petit papier avec le nom d’une personne [1]. Ainsi chaque papier a la même chance ou probabilité d’être tiré. Ce qui donne, si on écrit ça de façon mathématique :
\[p=\frac{1}{n}\]
avec \(p\) est la probabilité qu’un papier défini soit tiré au sort,
et \(n\) est le nombre total de papiers dans l’urne[3].
Ainsi s’il y a deux papiers, chaque papier a une probabilité 0,5 (½), s’il y en a trois, la probabilité est de 0,33 (⅓) et ainsi de suite.

De prime abord cela peut sembler équitable. D’autant plus que pour protéger les plus jeunes, le nombre de papier à son nom augmente d’un tous les ans [2]. Ainsi un jeune de 12 n’a qu’un papier à son nom et une probabilité p d’être tiré au sort. Mais un jeune de 13 ans, a deux papiers à son nom et une probabilité de 2\(p\) d’être tiré au sort (chaque papier garde une probabilité de \(p\) d’être tiré). Et ainsi de suite jusqu’à 18 ans. Les jeunes de 18 ont donc 7 fois plus de chance d’être tiré au sort qu’un jeune de 12 ans, soit une probabilité de 7\(p\).
Il est possible de modifier notre première équation de la façon suivante :
\[p’=ep=\frac{e}{n}\]
\[e=a-11\]
\[p’=\frac{a-11}{n}\]
où \(p’\) est la probabilité d’une personne d’être tirée au sort
\(p\) est la probabilité d’un papier d’être tiré au sort
\(e\) est le nombre de papier avec le nom de la personne dans l’urne
\(a\) est l’âge de la personne et a-11 donne le nombre de papiers portant le nom de la personne ou le nombre d’année que la personne est soumise à la Moisson jusque-là.
et \(n\) est toujours le nombre total de papiers dans l’urne.

Le système de terressae

Mais le système n’est pas si simple. Pour limiter les effets de la faim qui touche les couches les plus pauvres des districts, le Capitol a mis en place les terressae. Contre l’ajout d’un papier à son nom, la personne reçoit de la nourriture pour l’année. Chaque personne est limitée à un terressa par membre de sa famille et par an. Ainsi dans l’exemple de Katniss, elle prend 3 teressae par ans, un pour elle, un pour sa sœur et enfin l’un pour sa mère. Il faut alors compléter notre équation de la façon suivante :
\[e=a-11+t(a-11)\]
\[p’=\frac{a-11+t(a-11)}{n}\]
avec \(p’\), \(e\), \(a\) et \(n\) identique aux équations précédentes
et \(t\) le nombre de terressae pris par an (pour rester simple, ce nombre est constant)

Pour bien comprendre l’effet (important) des terressae pour ceux qui choisissent d’y recourir le plus simple est de calculer le nombre de papier de différents personnages du film et leur probabilité d’être tiré au sort. Katniss a 16 ans et prend 3 terressae par ans :
\[e_K=16-11+3(16-11)=5+(3×5)=5+15=20\]
\[p’_K=e_K p=20p\]
Peeta a également 16 ans et étant le fils des boulangers, il ne prend pas de terressae.
\[e_Pe=16-11+0(16-11)=5+(0×5)=5\]
\[p’_Pe=e_Pe p=5p\]
Gale a 18 ans et prends 5 terressae par ans (pour lui, sa mère et ses trois plus jeunes frères et sœurs).
\[e_G=18-11+5(18-11)=7+(5×7)=7+35=42\]
\[p’_G=e_G p=42p\]
Enfin Primrose a 12 ans et Katniss lui interdit de prendre des terressae.
\[e_Pr=12-11+0(12-11)=1+(0×1)=1\]
\[p’_Pr=e_Pr p=1p=p\]
On observe que le système de terressae augmente très vite les probabilités de ceux qui ont recourt surtout si c’est durant de nombreuses années. Ainsi Gale a plus de 8 fois plus de chance d’être tiré au sort que Peeta et Katniss a 20 fois plus de chance d’être tirés au sort que sa sœur Primrose. Et si le nombre de papiers est similaire entre l’urne des filles du district 12 et celui des garçons de leur district alors Gale a une probabilité d’être tiré 42 fois supérieur à celle de Primrose. Cela désavantage les familles pauvres dont les enfants ont beaucoup plus de chance d’être tiré au sort. Ça leur est d’autant plus dommageable qu’il s’agit souvent de l’aîné qui aide leurs parents à nourrir la famille, au-delà du système des terressae comme Katniss et Gale qui chassent ou avec d’autres activités rémunératrices ou nourricières plus ou moins légales.

L’effet du nombre

Il reste un élément des équations que nous n’avons pas exploré, il s’agit de n. C’est le nombre de papier dans l’urne. Il dépend du nombre de personne, de leurs âges, de leurs recours au terressae et du nombre de personne des familles. Les données des livres et des films sont trop peu précis pour faire un calcul relativement précis. De façon est assez intuitive, plus il y a des personnes, plus les probabilités d’être tiré au sort sont faibles. Ainsi plus un district a une population nombreuse, plus individuellement chaque personne aura une chance plus faible d’être tiré au sort. Au contraire, plus la population est faible plus chaque personne aura une chance plus importante d’être tiré au sort. L’extrême est visible dans le deuxième opus de la saga.
Mais au-delà du nombre de personnes soumises à la moisson, c’est également le nombre de terressae que ces personnes ont prises qui importe. Comme nous l’avons vu précédemment, le nombre de terressae augmente rapidement le nombre de papier des personnes les plus âgés. Si de nombreuses personnes prennent des terressae, le nombre de papier va rapidement augmenter. Pour mieux se rendre compte de ces différences, nous allons prendre nos personnages et les plongé dans différents districts fictifs :

• un district w avec peu de population et peu de personnes ayant recours au terressae
• un district x avec peu de population et beaucoup de personne ayant recours au terressae
• un district y avec beaucoup de population et peu de personnes ayant recours au terressae
• un district z avec beaucoup de population et beaucoup de personne ayant recours au terressae

Un district avec peu de population est défini comme ayant 25 personnes de même âge et de même sexe a contrario un district avec beaucoup de population est défini comme ayant 100 personnes de même âge et même sexe. Dans un district ayant peu recours au terressae, le nombre moyen de terressae est de 1 par an et par personne et dans un district ayant beaucoup recours au terressae, ce nombre est de 3 par an et par personne. Pour obtenir le nombre de papiers dans l’urne, il suffit d’additionner les nombre de papiers par tranche d’âge.

Dans le district w

\[n=25(1+1\times1)+25(2+1\times2)+25(3+1\times3)+25(4+1\times4)+25(5+1\times5)+25(6+1\times6)+25(7+1\times7)=1400\]

\[p’_K=\frac{e_K}{n}=\frac{20}{1400}\approx0,0143=1,43\%\]

\[p’_Pe=\frac{e_Pe}{n}=\frac{5}{1400}\approx0,00357=0,35\%\]

\[p’_G=\frac{e_G}{n}=\frac{42}{1400}=0,03=3\%\]

\[p’_Pr=\frac{e_Pr}{n}=\frac{1}{1400}\approx0,000714=0,07\%\]

Dans le district x

\[n=25(1+3\times1)+25(2+3\times2)+25(3+3\times3)+25(4+3\times4)+25(5+3\times5)+25(6+3\times6)+25(7+3\times7)=2800\]

\[p’_K=\frac{e_K}{n}=\frac{20}{2800}\approx0,00714=0,71\%\]

\[p’_Pe=\frac{e_Pe}{n}=\frac{5}{2800}\approx0,00179=0,18\%\]

\[p’_G=\frac{e_G}{n}=\frac{42}{2800}=0,015=1,5\%\]

\[p’_Pr=\frac{e_Pr}{n}=\frac{1}{2800}\approx0,000357=0,036\%\]

Dans le district y

\[n=100(1+1\times1)+100(2+1\times2)+100(3+1\times3)+100(4+1\times4)+100(5+1\times5)+100(6+1\times6)+100(7+1\times7)=5600\]

\[p’_K=\frac{e_K}{n}=\frac{20}{5600}\approx0,00357=0,36\%\]

\[p’_Pe=\frac{e_Pe}{n}=\frac{5}{5600}\approx0,000893=0,09\%\]

\[p’_G=\frac{e_G}{n}=\frac{42}{5600}=0,0075=0,75\%\]

\[p’_Pr=\frac{e_Pr}{n}=\frac{1}{5600}\approx0,000178=0,02\%\]

Dans le district z

\[n=100(1+3\times1)+100(2+3\times2)+100(3+3\times3)+100(4+3\times4)+100(5+3\times5)+100(6+3\times6)+100(7+3\times7)=11200\]

\[p’_K=\frac{e_K}{n}=\frac{20}{11200}\approx0,00179=0,18\%\]

\[p’_Pe=\frac{e_Pe}{n}=\frac{5}{11200}\approx0,000446=0,045\%\]

\[p’_G=\frac{e_G}{n}=\frac{42}{11200}=0,00375=0,38\%\]

\[p’_Pr=\frac{e_Pr}{n}=\frac{1}{11200}\approx0,0000893=0,008\%\]

On observe ainsi qu’il vaut mieux être Gale dans les districts avec beaucoup de population que Katniss dans le district avec peu de population et peu de terressae. Il vaut également mieux être Katniss dans le district z (où elle a un nombre moyen de terressae) que Peeta dans les districts avec peu de population. Cela démontre que le district de la personne et sa démographie peuvent plus influencer les chances de participer aux Hunger Games que la situation de sa famille. Cela peut également expliquer, en partie que certains districts préfèrent entrainer certains jeunes au combat dans le but qu’ils se portent volontaire pour les Hunger Games, alors que d’autres districts ayant besoin de terressae favorisent une forte natalité et donc une forte population.
Il est alors important de comprendre ce que veut dire exactement une probabilité. Si le tirage de la Moisson était effectué à l’infini alors \(p’_K\) serait égale à la proportion de fois que le nom de Katniss est tiré. Le nom de Katniss serait 20 fois plus tiré que celui de Primrose et celui de Gale serait un peu plus que deux plus souvent tiré que celui de Katniss. Mais sur un tirage, un seul papier sort et le nom de celui qu’il porte peut-être n’importe lequel. Ainsi comme le rappel le film, si une probabilité n’est pas nulle alors l’événement peut arriver. Primrose a une chance très faible d’être tirée au sort dans un district comme le district 12 (de nombreuses familles ont recours aux terressae) et pourtant c’est son nom qui sort.

Pour en revenir au film, Hunger Games est un bon film d’action pour la famille et une adaptation correcte. Néanmoins pour expliquer la suite de la saga tout en gardant un certain suspens, certains éléments extérieurs à l’arène des jeux sont mis en avant comme le président Snow, la perception dans les districts… Cela permet également d’atténuer la violence de l’œuvre par rapport au livre et du fait d’être mis en image. Les morts des tributs ne sont ainsi pas souvent montrées. Le propos de l’œuvre s’en retrouve diminuer pour être un peu plus consensuel. Le spectateur perd également les pensées de Katniss, narratrice du livre et, de fait, le jeu de Katniss sur les apparences nécessaire à la survie dans l’arène.

[1] Pour la totalité de cet article, le terme de personne réfère à une personne du district soumis à la Moisson.(retour au texte)
[2] Le film passe assez rapidement sur les différents aspects du tirage au sort de la Moisson. Pour cet article, je me repose sur les explications du livre.(retour au texte)
[3] Toutes les variantes utilisées dans les formules de l’article sont :
\(p\) est la probabilité qu’un papier défini soit tiré au sort,
\(p’\) est la probabilité d’une personne d’être tirée au sort,
\(n\) est le nombre total de papiers dans l’urne,
\(e\) est le nombre de papier avec le nom de la personne dans l’urne,
\(a\) est l’âge de la personne et a-11 donne le nombre de papiers portant le nom de la personne ou le nombre d’année que la personne est soumise à la Moisson jusque-là,
\(t\) le nombre de terressae pris par an (pour rester simple, ce nombre est constant),
\(p’_K\) est la probabilité de Katniss d’être tirée au sort,
\(p’_Pe\) est la probabilité de Peeta d’être tiré au sort,
\(p’_G\) est la probabilité de Gale d’être tiré au sort,
\(p’_Pr\) est la probabilité de Primrose d’être tirée au sort.
(retour au texte)

Pour aller plus loin :

Pour réviser les probabilités
L’article en anglais Hunger Games: What Are the Chances? qui présente l’utilisation de Hunger Games pour enseigner les probabilités à des collégiens américains
Plus de mathématiques autour de Hunger Games en anglais : Probability and Game Theory in The Hunger Games

Note perso

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La note des lecteurs :
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Hunger Games, 2012
Réalisé par Gary Ross
Avec Jennifer Lawrence, Josh Hutcherson, Liam Hemsworth …
Nationalité américiane
Durée 2h22

Et la bande annonce en vostf